Question

2．已知函數(shù)f（x）=（sinx）²（cosx）²，求f（x）的最小正周期及在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)性．

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的恒等變換可得f（x）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得f（x）的最小正周期及在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)f（x）=（sinx）²（cosx）² =$\frac{1}{4}$（2sinxcosx）²=$\frac{1}{4}$（sin2x）²=$\frac{1}{4}$•$\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x，
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{4}$ $\frac{π}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x∈[0，π]，∴函數(shù)y=cos4x 在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，
故 f（x）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x 在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．