Question

9．對于函數y=f（x）的定義域為D，如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足下列條件：
①f（x）在[m，n]上是單調函數；②當f（x）的定義域為[m，n]時，值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是函數f（x）的“Z區(qū)間”．對于函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx-x，x＞0}\\{\sqrt{-x}-a，x≤0}\end{array}\right.$（a＞0）．
（Ⅰ） 若a=1，求函數f（x）在（e，1-e）處的切線方程；
（Ⅱ） 若函數f（x）存在“Z區(qū)間”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 若a=1，則f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}-1$，求出切線斜率，代入點斜式方程，可得答案；
（Ⅱ） 結合函數f（x）存在“Z區(qū)間”的定義，分類討論滿足條件的a的取值范圍，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，x=e，
則f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}-1$，
則切點坐標為（e，1-e），
切線斜率k=f′（e）=$\frac{1}{e}$-1，
∴函數f（x）在（e，1-e）處的切線方程為y-（1-e）=（$\frac{1}{e}$-1）（x-e），
即（e-1）x+ey=0．
（Ⅱ）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx-x，x＞0}\\{\sqrt{-x}-a，x≤0}\end{array}\right.$（a＞0）．
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{x}-1，x＞0\\ \frac{-1}{2\sqrt{-x}}，x≤0\end{array}\right.$（a＞0）．
列表如下

x	（-∞，0）	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	-	0	-
f（x）	減	增	極大值	減

設函數f（x）存在“Z區(qū)間”是[m，n]，
（1）當0＜m＜n時，由f′（x）≥0得：$\frac{a}{x}-1$≥0，解得0＜x≤a，
即0＜x≤a時函數f（x）為增函數，
當x=n時，取得最大值，
當x=m時，取最小值，
即$\left\{\begin{array}{l}alnn-n=n\\ alnm-m=m\end{array}\right.$，
即方程alnx-x=x有兩個解，
即方程a=$\frac{2x}{lnx}$有兩個解，做出y=$\frac{2x}{lnx}$的圖象，
由圖象以及函數的導數可知，
當x＞1時，y=$\frac{2x}{lnx}$在x=e處取得最小值2e，
在x=a時，y=$\frac{2a}{lna}$，故方程a=$\frac{2x}{lnx}$有兩個解，
由a≤$\frac{2a}{lna}$得：a≤e²，
此時正數a的取值范圍是（2e，e²]．
由f′（x）＜0得：$\frac{a}{x}-1$＜0，解得x＞a，
即x＞a時，函數f（x）為單調減函數，
則當x=m時，取得最大值，
當x=n時，取得最小值，
即$\left\{\begin{array}{l}alnn-n=m\\ alnm-m=n\end{array}\right.$，
兩式相減可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；
當x≤0時，函數f（x）為減函數，
則當x=m時取最大值，
當x=n時，取得最小值，
即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-m}-a=n\\ \sqrt{-n}-a=m\end{array}\right.$，兩式相減，
可以得到$\sqrt{-m}$+$\sqrt{-n}$=1，回代到方程組的第一個式子得到1-$\sqrt{-n}$-a=n，
整理得到1-$\sqrt{-n}$-n=a，
由圖象可知，方程由兩個解，

則a∈（$\frac{3}{4}$，1]，
綜上正數a的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，1]∪（2e，e²]

點評 本題考查的知識點是曲線在某點處的切線方程，新定義，分類討論思想，難度稍大，中檔偏上．