Question

10．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果對(duì)于常數(shù)λ，在正方形ABCD的四條邊上（不含頂點(diǎn)）有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$成立，那么λ的取值范圍為（　�。�

• A． $（-3，-\frac{1}{4}）$
• B． （-3，3）
• C． $（-\frac{1}{4}，3）$
• D． （3，12）

Answer 1

分析 以DC為x軸，以DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出數(shù)量積$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$有一解，兩解的情況，即可得到結(jié)論．

解答 解：以DC為x軸，以DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則E（0，3），F(xiàn)（6，4）．
（1）若P在CD上，設(shè)P（x，0），0≤x≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，3），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，4）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+12=（x-3）²+3，
∵x∈[0，6]，∴3≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤12．
∴當(dāng)λ=3時(shí)有一解，當(dāng)3＜λ≤12時(shí)有兩解．
（2）若P在AD上，設(shè)P（0，y），
∵0＜y≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（0，3-y），$\overrightarrow{PF}$=（6，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=y²-7y+12=（y-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0＜y≤6，∴-$\frac{1}{4}$≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜12．
∴當(dāng)λ=-$\frac{1}{4}$或6＜λ＜12，有一解，當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤λ＜6時(shí)有兩解．
（3）若P在AB上，設(shè)P（x，6），0＜x≤6.$\overrightarrow{PE}$=（-x，-3），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，-2）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+6=（x-3）²-3，
∵0＜x≤6．∴-3≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤6．
∴當(dāng)λ=-3時(shí)有一解，當(dāng)-3＜λ≤6時(shí)有兩解．
（4）若P在BC上，設(shè)P（6，y），0＜y＜6，
∴$\overrightarrow{PE}$=（-6，3-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=y²-7y+12=（y-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0＜y＜6，∴-$\frac{1}{4}$≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜12．
∴當(dāng)λ=-$\frac{1}{4}$或6≤λ＜12時(shí)有一解，
當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤λ＜12時(shí)有兩解．
綜上，若在正方形ABCD的四條邊上（不含頂點(diǎn)）有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，
則-$\frac{1}{4}$＜λ＜3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)量積的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．