Question

17．△ABC的一邊長(zhǎng)為8，周長(zhǎng)為20，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．

Answer 1

分析 由題意可得AB+AC=12＞BC=8，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，利用橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)求出a、b 的值，即得頂點(diǎn)A的軌跡方程．

解答 解：∵△ABC的一邊長(zhǎng)為8，周長(zhǎng)為20，不妨|BC|=8，且△ABC的周長(zhǎng)等于20，
∴AB+AC=12＞BC=8，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，
∴2a=12，a=6，c=4，
∴b²=20，故頂點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$（y≠0）或$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{20}=1$（x≠0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$（y≠0）或$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{20}=1$（x≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，注意軌跡方程中y≠0，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于基礎(chǔ)題．