Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（I） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）．證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由單調(diào)性不妨設(shè)：x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），由（x₁）=f（x₂），只需證明f（x₂）＜f（2-x₂），即證：${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，設(shè)g（x）=e^x（2-x）-xe^2-x，（1＜x＜2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是{x|x≠0}，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1且x≠0，
∴f（x）在（1，+∞）遞增，在（-∞，0），（0，1）遞減；
（Ⅱ）證明：x＜0時，f（x）＜0，x＞0時，f（x）＞0，
如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），由（1）：x₁＞0，x₂＞0，
由單調(diào)性不妨設(shè)：x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
若x₂≥2，則有：x₁+x₂＞2成立，
若：1＜x₂＜2，則有0＜2-x₂＜1，
要證x₁+x₂＞2，只需證明x₁＞2-x₂，
由單調(diào)性及0＜x₁＜1，0＜2-x₂＜1，
只需證明f（x₁）＜f（2-x₂），
由f（x₁）=f（x₂），
只需證明f（x₂）＜f（2-x₂），
即證$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{e}^{2{-x}_{2}}}{2{-x}_{2}}$，即證：${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，
設(shè)g（x）=e^x（2-x）-xe^2-x，（1＜x＜2），
則g′（x）=（x-1）（e^2-x-e^x），
由1＜x＜2，有0＜2-x＜1＜x＜2，
則e^2-x＜e^x，
則1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
則g（x）＜g（1）=0，
又1＜x₂＜2，
則${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，
即x₁+x₂＞2成立，
綜上：x₁+x₂＞2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．