Question

8．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（1）設a₁=1，a₄=8．
①若$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=M（$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$），n∈N^*，求實數(shù)M的值；
②若在$\frac{1}{{a}_{1}}$與$\frac{1}{{a}_{4}}$中插入k個數(shù)b₁，b₂，…，b_k，使$\frac{1}{{a}_{1}}$，b₁，b₂，…，b_k，$\frac{1}{{a}_{4}}$，$\frac{1}{{a}_{5}}$成等差數(shù)列，求這k個數(shù)的和S_k；
（2）若一個數(shù)列{c_n}的所有項都是另一個數(shù)列{d_n}中的項，則稱{c_n}是{d_n}的子數(shù)列，已知數(shù)列{b_n}是公差不為0的等差數(shù)列，b₁=a₁，b₂=a₂，b_m=a₃，其中m是某個正整數(shù)，且m≥3，求證：數(shù)列{a_n}是{b_n}的子數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）①由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列a₁=1，a₄=a₁q³=8，求得q，求得數(shù)列{a_n}的通項公式，求得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以公比為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，將原式轉(zhuǎn)化成2[1-（$\frac{1}{2}$）²ⁿ]=M•[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，求得M的值；
②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：b₁+b_k=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{9}{8}$，即可求得S_k；
（2）分別求得{a_n}，{b_n}的通項公式，根據(jù)已知條件，求得m=q+2，求得b_k=a₁+a₁（q-1）（k-1），并求得a_n=a₁+a₁（q-1）（q^n-2+q^n-3+…+1），
當n≥3時，k=q^n-2+q^n-3+…+2，求得a_n=b_k，當n=1或2時，a₁=b₁，a₂=b₂，即可證明數(shù)列{a_n}是{b_n}的子數(shù)列．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₄=a₁q³=8，
∴q=2，
∴a_n=2^n-1，
①$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=[（$\frac{1}{2}$）^n-1]²=（$\frac{1}{4}$）^n-1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以公比為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1×[1-（\frac{1}{2}）^{2n}]}{1-\frac{1}{2}}$=2[1-（$\frac{1}{2}$）²ⁿ]，
∴$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1×[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，
∴2[1-（$\frac{1}{2}$）²ⁿ]=M•[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，解得M=$\frac{3}{2}$，
②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：b₁+b_k=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{9}{8}$，
S_k=$\frac{k（_{1}+_{k}）}{2}$=$\frac{9k}{16}$，
（2）證明：設數(shù)列{a_n}的公比是q，a_n=a₁q^n-1，
設數(shù)列{b_n}是公差是d，則b_n=b₁+（n-1）d，
∵b₁=a₁，b₁=a₂，b_m=a₃，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q={a}_{1}+d}\\{{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+（m-1）d}\end{array}\right.$，
消去d，a₁（q²-1）=（m-1）a₁（q-1），即m=q+2，
∵d≠0，m是某個正整數(shù)，且m≥3，
∴q∈N，且q≥2，
∵d=a₁（q-1），
b_k=b₁+（k-1）d=a₁+a₁（q-1）（k-1），
∵a_n=a₁q^n-1=a₁+a₁（q^n-1-1），
=a₁+a₁（q-1）（q^n-2+q^n-3+…+1），
∴n≥3時，k=q^n-2+q^n-3+…+2，此時a_n=b_k，
n=1或2時，a₁=b₁，a₂=b₂，
數(shù)列{a_n}中所有項都是數(shù)列{b_n}的項，
數(shù)列{a_n}是數(shù)列{b_n}的數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查推理論證能力，屬難題．