Question

7．已知點(diǎn)O是△ABC外心，AB=4，AO=3，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范圍是[-4，20]．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，固定A，B兩點(diǎn)，求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)C（3cosθ，3sinθ），使用坐標(biāo)表示出向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的函數(shù)求最值．

解答 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（3，0），
由余弦定理得cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{1}{9}$，∴B（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{80}}{3}$）．
設(shè)C（3cosθ，3sinθ），則$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{8}{3}$，$\frac{\sqrt{80}}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（3cosθ-3，3sinθ）．
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=8-8cosθ+$\sqrt{80}$sinθ=8+12sin（θ-φ）．
∴當(dāng)sin（θ-φ）=-1時(shí)，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$取得最小值-4，當(dāng)sin（θ-φ）=1時(shí)，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$取得最大值20．
故答案為[-4，20]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系是解題常用方法．