Question

5．（1）已知點(diǎn)A（1，-3，2），B（-1，0，3），在z軸上求一點(diǎn)M，使得|AM|=|MB|；
（2）已知A（$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），在yOz平面上求一點(diǎn)C，使得△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）欲求點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M在z軸上的特點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0，z），結(jié)合空間兩點(diǎn)間的距離公式利用題中條件：“|MA|=|MB|，”列關(guān)于z的方程，最后解此方程即可．
（2）設(shè)出C的坐標(biāo)，利用距離公式列出方程組求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M在z軸上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0，z），A（1，-3，2），B（-1，0，3），
又|MA|=|MB|，
由空間兩點(diǎn)間的距離公式得：
$\sqrt{{1}^{2}+{（-3）}^{2}+{（z-2）}^{2}}$=$\sqrt{{（-1）}^{2}+0+{（z-3）}^{2}}$
解得：z=-2．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0，-2）．
（2））∵點(diǎn)C在yOz平面上上，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y，z），A（$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），|AB|=$\sqrt{0+4+8}$=2$\sqrt{3}$．
又△ABC為等邊三角形，
由空間兩點(diǎn)間的距離公式得：
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{（y-3）}^{2}+{（z-3\sqrt{2}）}^{2}}=2\sqrt{3}\\ \sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{（y-1）}^{2}+{（z-\sqrt{2}）}^{2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
解得：z=3$\sqrt{2}$．y=0，或z=$\sqrt{2}$，y=4，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0，3$\sqrt{3}$），或（0，4，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式、空間坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示、方程等基本知識，考查了計(jì)算能力．