Question

8．設函數f（x）=ax²+bx+$\frac{3}{4}$在x=0處取得極值且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線2x+4y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線y=f（x）和直線2x+4y-3=0所圍成的封閉圖象的面積；
（3）設函數g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$，若方程g（x）=m有三個不同的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為”函數在x=0處取得極值“，則有f′（0）=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直”，則有f′（1）=2，從而求解；
（2）利用微積分基本定理來求曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積；
（3）由（1）可得到：g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$，求出導數，令導數為0，求出兩極值點，則由其兩根來構建單調區(qū)間求出極值，只需使m大于極小值且小于極大值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax²+bx+$\frac{3}{4}$，故f′（x）=2ax+b，
又f（x）在x=0處取得極限值，故f′（0）=0，從而b=0，
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直，
可知該切線斜率為2，
即f′（1）=2，有2a=2，從而a=1，
故a=1，b=0；
（2）由（1）知f（x）=x²+$\frac{3}{4}$，
聯立直線與曲線方程得到x=-$\frac{3}{2}$或x=1
故曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積為
S=${∫}_{-\frac{3}{2}}^{1}$[（-$\frac{1}{2}x$+$\frac{9}{4}$）-（x²+$\frac{3}{4}$）]dx=${∫}_{-\frac{3}{2}}^{1}（-{x}^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）dx$
=（-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x）|${\;}_{-\frac{3}{2}}^{1}$=（-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{2}$）-（$\frac{9}{8}$-$\frac{9}{16}$-$\frac{9}{4}$）=$\frac{125}{48}$；
（3）g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+\frac{3}{4}）-2x•{e}^{x}}{（{x}^{2}+\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+\frac{3}{4}）}{（{x}^{2}+\frac{3}{4}）^{2}}$，
令g′（x）=0得到x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$，
根據x₁，x₂列表，得到函數的極值和單調性．

x	（-∞，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）	$\frac{3}{2}$	（$\frac{3}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數g（x）的極大值為g（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$，函數g（x）的極小值為g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{3}{2}}$，
方程g（x）=m有三個不同的實根，即為m介于兩個極值之間，
∴$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{3}{2}}$＜m＜${e}^{\frac{1}{2}}$．

點評 本題主要考查導數的幾何意義，函數的極值及函數的單調性．綜合性較強，充分考查了函數、方程和不等式三者的內在聯系與轉化．