Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F且與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)．其中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°．則△OAB的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通過題意易知直線l方程為：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式可知|AB|=$\frac{16}{3}$，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵拋物線方程為：y²=4x，
∴F（1，0），
又∵直線l的傾斜角為60°，
∴直線l的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴直線l方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消去y整理得：3x²-10x+3=0，
∴x_A+x_B=$\frac{10}{3}$，x_Ax_B=1，
∴y_A-y_B=[$\sqrt{3}$（x_A-1）]-[$\sqrt{3}$（x_B-1）]=$\sqrt{3}$（x_A-x_B），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{{y}_{A}-y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+3（{{x}_{A}-{x}_{B}）}^{2}}$
=2$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=2$\sqrt{（{\frac{10}{3}）}^{2}-4}$
=$\frac{16}{3}$，
又∵原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|0-0-\sqrt{3}|}{\sqrt{（{\sqrt{3}）}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}•$$\frac{16}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合，注意解題方法的積累，屬于中檔題．