Question

10．星城投公司到當(dāng)?shù)亍懊利愔袊�”旅行社統(tǒng)計了100名來到該市旅游的旅客的去處，發(fā)現(xiàn)游覽科技館，博物館、海底世界三個景點的人數(shù)依次為40，50，60人，且客人是否游覽哪個景點互不影響，如果用頻率作為概率，Y表示旅客離開該市時游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．
（Ⅰ）求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）記“函數(shù)f（x）=x²-3Yx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，試求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）分別記“客人游覽科技館”、“客人游覽博物館”、“客人游覽海底世界”為事件A₁、A₂、A₃，由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，由題意Y的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅不$\frac{3}{2}Y≤2$，即Y$≤\frac{4}{3}$，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）∵星城投公司到當(dāng)?shù)亍懊利愔袊�”旅行社統(tǒng)計了100名來到該市旅游的旅客的去處，發(fā)現(xiàn)游覽科技館，博物館、海底世界三個景點的人數(shù)依次為40，50，60人，
分別記“客人游覽科技館”、“客人游覽博物館”、“客人游覽海底世界”為事件A₁、A₂、A₃，由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
Y表示旅客離開該市時游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，
∴Y的可能取值為1，3，
P（Y=3）=P（A₁A₂A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（Y=1）=1-0.24=0.76，
∴Y的分布列為：

Y	1	2
P	0.76	0.24

EY=1×0.76+2×0.24=1.24．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=x²-3Yx+1=（x-$\frac{3}{2}Y$）²+1-$\frac{9}{4}{Y}^{2}$，
∴f（x）=x²-3Yx+1在區(qū)間[$\frac{3}{2}Y，+∞$）上單調(diào)遞增，
要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅不$\frac{3}{2}Y≤2$，即Y$≤\frac{4}{3}$，
∴事件A的概率P（A）=P（Y$≤\frac{4}{3}$）=P（Y=1）=0.76．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．