Question

15．2015年9月12日青島2015世界休閑體育大會(huì)隆重開幕．為普及體育知識(shí)，某校學(xué)生社團(tuán)組織了14人進(jìn)行“體育知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，每人回答3個(gè)問題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表：

答對(duì)題目個(gè)數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	3	2	5	4

根據(jù)表格信息解答以下問題：
（Ⅰ）從14人中任選3人，求3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率；
（Ⅱ）從14人中任選2人，用X表示這2人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6”為事件A，利用排列組合知識(shí)能求出3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率．
（Ⅱ）由題意知X的所有取值為0，1，2，3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）記“3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{5}^{3}+{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{3}}$=$\frac{17}{91}$，
∴3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率p=$\frac{17}{91}$．
（Ⅱ）由題意知X的所有取值為0，1，2，3，4，5，6，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{3}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{6}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{16}{91}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{22}{91}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{18}{91}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{20}{91}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{6}{91}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{3}{91}$	$\frac{6}{91}$	$\frac{16}{91}$	$\frac{22}{91}$	$\frac{18}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{6}{91}$

EX=$0×\frac{3}{91}+1×\frac{6}{91}+2×\frac{16}{91}+3×\frac{22}{91}+4×\frac{18}{91}$+$5×\frac{20}{91}+6×\frac{6}{91}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．