Question

5．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若點M在△ABC的三邊上移動，則線段AM的長度不小于$2\sqrt{2}$的概率為$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$．

Answer 1

分析 根據條件作出對應的圖象，求出對應的長度，根據幾何概型的概率公式進行計算即可．

解答 解：若線段AM的長度不小于$2\sqrt{2}$，則M在線段BE，BF，CG，CD上，
其中AE=AE=$2\sqrt{2}$，
∵AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
∴FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}=\sqrt{8-7}$=1，
則FG=2，
三角形的周長l=4+4+6=14，
則BE+BF+CG+CD=14-$2\sqrt{2}$-$2\sqrt{2}$-2=12-4$\sqrt{2}$，
則線段AM的長度不小于$2\sqrt{2}$的概率P=$\frac{12-4\sqrt{2}}{14}$=$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$
故答案為：$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據條件作出圖象求出滿足條件的AM的取值范圍是解決本題的關鍵．