Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-2π，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用三角函數(shù)的周期公式即可計(jì)算得解．
（2）由x∈[-2π，0]，可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，從而可求f（x）在區(qū)間[-2π，0]上的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$×$\frac{1-cos\frac{x}{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）∵x∈[-2π，0]，
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0]．
∴f（x）在區(qū)間[-2π，0]上的最小值為-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．