Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（2）設實數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）欲求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=e處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）欲求函數(shù)F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值，只須利用導數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f（e）=e，f′（x）=lnx+1，f′（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程為：
y-e=2（x-e），整理，得y=2x-e．
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)，
令F′（x）=0，得x=

1

e

，
當x∈（0，

1

e

），F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，
當x∈（

1

e

，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F(xiàn)（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln

1

4a

，
∴當0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）≥0，F(xiàn)_max（x）=F（a）=lna，
當a＞

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）＜0，F(xiàn)_max（x）=F（2a）=2ln2a．

點評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，考查運算求解能力和分類討論思想．屬于中檔題．