Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3，n∈N^*
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的值；
（2）當(dāng)a₁=-3時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若對(duì)任意的n∈N^*，都有$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥5成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1+a_n=4n-3，n∈N^*，可得a₂+a₁=1，a₃+a₂=5，相減可得a₃-a₁=5-1=4，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得2d=4，解得d．
（2）由a_n+1+a_n=4n-3，a_n+2+a_n+1=4n+1，可得a_n+2-a_n=4，a₂=4．可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都為4．對(duì)n分類討論利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．
（3）由（2）可知：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1}，n為奇數(shù)}\\{2n-3-{a}_{1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n-1-a₁，由$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥5成立，a_n+1+a_n=4n-3，可得：${a}_{1}^{2}$-a₁≥-4n²+16n-10，令f（n）=-4n²+16n-10，求出其最大值即可得出．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，同理可得．

解答 解：（1）∵a_n+1+a_n=4n-3，n∈N^*，∴a₂+a₁=1，a₃+a₂=5，
∴a₃-a₁=5-1=4，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則2d=4，解得d=2．
∴2a₁+2=1，解得a₁=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵a_n+1+a_n=4n-3，a_n+2+a_n+1=4n+1，∴a_n+2-a_n=4，a₂=4．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都為4．
∴a_2k-1=-3+4（k-1）=4k-7；a_2k=4+4（k-1）=4k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-5，n為奇數(shù)}\\{2n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（a₁+a₂）+…+（a_n-1+a_n）=-3+9+…+（4n-3）=$\frac{\frac{n}{2}（-3+4n-3）}{2}$=$\frac{{2n}^{2}-3n}{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n+1-a_n+1=$\frac{2（n+1）^{2}-3（n+1）}{2}$-2（n+1）=$\frac{2{n}^{2}-3n-5}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{n}^{2}-3n-5}{2}，n為奇數(shù)}\\{\frac{2{n}^{2}-3n}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1}，n為奇數(shù)}\\{2n-3-{a}_{1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n-1-a₁，
由$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥5成立，a_n+1+a_n=4n-3，可得：${a}_{1}^{2}$-a₁≥-4n²+16n-10，
令f（n）=-4n²+16n-10=-4（n-2）²+6，當(dāng)n=1或3時(shí)，[f（n）]_max=2，∴${a}_{1}^{2}$-a₁≥2，解得a₁≥2或a₁≤-1．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁，
由$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥5成立，a_n+1+a_n=4n-3，可得：${a}_{1}^{2}$+3a₁≥-4n²+16n-12，
令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4，當(dāng)n=2時(shí)，[f（n）]_max=4，∴${a}_{1}^{2}$+3a₁≥4，解得a₁≥1或a₁≤-4．
綜上所述可得：a₁的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“分組求和”方法、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．