Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），則數(shù)列{${\frac{1}{a_n}}$}的前2015項(xiàng)的和為$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），
∴n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，n=1時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{${\frac{1}{a_n}}$}的前2015項(xiàng)的和=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）]$
=2×$（1-\frac{1}{2016}）$
=$\frac{2015}{1008}$．
故答案為：$\frac{2015}{1008}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．