Question

1．如圖所示為一個(gè)幾何體的三視圖：
（1）指出該空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：
（2）求該幾何體的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）由三視圖現(xiàn)狀可知幾何體為三棱錐，由俯視圖可知底面為直角三角形，由側(cè)視圖可知側(cè)面與底面垂直；
（2）作出直觀圖，由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知球心在棱錐的高上，列出方程解出半徑．

解答 解：（1）該空間幾何體為底面是等腰直角三角形的三棱錐，且過(guò)底面斜邊的側(cè)面與底面垂直．
（2）設(shè)該棱錐為S-ABC，外接球球心為O，如圖，
∵AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，∴AB⊥BC，∴AC為截面ABC的直徑，
取AC中點(diǎn)D，連接SD，∵SA=SC=AC=$\sqrt{2}$，∴SD⊥AC．∴AD=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SD⊥平面ABC，∴O在直線SD上．
設(shè)球O的半徑為R，則OA=SO=R，OD=SD-SO=$\frac{\sqrt{6}}{2}-R$，
∵OA²=AD²+OD²，∴R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}-R$）²，
解得R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴該幾何體的外接球的表面積為4πR²=$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，及外接球的有關(guān)計(jì)算，畫(huà)出直觀圖解出外接球半徑是關(guān)鍵．