Question

14．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₁與拋物線x²=8y的焦點(diǎn)重合，過F₁且不與x軸平行的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₂為等腰直角三角形，則e²=（　�。�

• A． 7-4$\sqrt{3}$
• B． 5-2$\sqrt{6}$
• C． 9-6$\sqrt{2}$
• D． 8-2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=$\sqrt{2}$|AB|=$\sqrt{2}$|BF₂|，設(shè)|AB|=|BF₂|=m，則|AF₂|=$\sqrt{2}$m，根據(jù)橢圓的定義可建立m，a之間的關(guān)系，然后根據(jù)B為直角，根據(jù)勾股定理可得a，c之間的關(guān)系，可求離心率．

解答 解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=$\sqrt{2}$|AB|=$\sqrt{2}$|BF₂|，
設(shè)|AB|=|BF₂|=m，則|AF₂|=$\sqrt{2}$m，
由橢圓定義可知，|AF₁|=2a-$\sqrt{2}$m，|BF₁|=（1+$\sqrt{2}$）m-2a，|BF₂|=4a-（$\sqrt{2}$+1）m，
∴|BF₂|=4a-（$\sqrt{2}$+1）m=m，
∴m=（4-2$\sqrt{2}$）a，
∵B=90°，
∴4（$\sqrt{2}$-1）²a²+4（2-$\sqrt{2}$）²a²=4c²
整理可得e²=9-6$\sqrt{2}$
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．橢圓的離心率是高考中選擇填空題�？嫉念}目．應(yīng)熟練掌握圓錐曲線中a，b，c和e的關(guān)系．