Question

18．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*．
（1）求a₁a₂，并求數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式可得a_n；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列前n項和公式即可得出．

解答 解 （1）∵a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*．
令n=1得a₁=1，令n=2得a₂=2．
當(dāng)n≥2時，由2a_n-1=S_n，2a_n-1-1=S_n-1，兩式相減得a_n=2a_n-1，
 又a₁≠0，則a_n≠0，
 于是數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴通項公式${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）由（1）知，na_n=n•2^n-1，
T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．