Question

4．已知f（x）=a^x（a＞0，a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（1）若y=2x與g（x）相切，求a的值；
（2）若x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）=log_ax，設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），則根據(jù)切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系列出方程組解出a．
（2）由f（x）和g（x）關(guān)于y=x對(duì)稱可知，當(dāng)f（x）＞x恒成立時(shí)，g（x）＜x恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．令h（x）=a^x-x，令h_min（x）＞0解出．

解答 解：（1）g（x）=log_ax，g′（x）=$\frac{lo{g}_{a}e}{x}$，設(shè)y=2x與g（x）相切于點(diǎn)（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{a}e}{{x}_{0}}=2}\\{{y}_{0}=2{x}_{0}}\\{{y}_{0}=lo{g}_{a}{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得a=e${\;}^{\frac{1}{2e}}$．
（2）∵f（x）與g（x）互為反函數(shù)，∴f（x）與g（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，∴當(dāng)f（x）＞x恒成立時(shí)，g（x）＜x恒成立，且a＞1．
令h（x）=f（x）-x=a^x-x，則h′（x）=a^xlna-1，令a^xlna-1=0，則a^x=$\frac{1}{lna}$=log_ae．∴x=log_a（log_ae）．
當(dāng)0＜x＜log_a（log_ae）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞log_a（log_ae）時(shí)，h′（x）＞0，
∴h_min（x）=h（log_a（log_ae））=log_ae-log_a（log_ae）=log_a（$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$）．
∵f（x）＞x在（0，+∞）上恒成立，∴h_min（x）＞0，即log_a（$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$）＞0．∴$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$＞1，即0＜log_ae＜e，∴e＜a^e，∴a＞e${\;}^{\frac{1}{e}}$．
∴實(shí)數(shù)a的范圍是（e${\;}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)恒成立問題，屬于難題．