Question

16．如圖，PA，PB是圓O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，PCN為圓O的割線，M為PN于AB的交點(diǎn)．證明：$\frac{AM}{BM}$=$\frac{A{N}^{2}}{B{N}^{2}}$．

Answer 1

分析 證明△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，可得BC：AC=BN：AN，利用△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵PA，PB是圓O的兩條切線，
∴△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，
∴PA：PN=AC：AN，PB：PN=BC：BN，
∵PA=PB，
∴AC：AN=BC：BN，
∴BC：AC=BN：AN
又∵△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，
∴BM：NM=BC：AN，MB：MC=NB：AC，
∴$\frac{B{M}^{2}}{NM•MC}$=$\frac{NB•BC}{AN•AC}$，
∴$\frac{B{M}^{2}}{BM•AM}$=$\frac{N{B}^{2}}{A{N}^{2}}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{A{N}^{2}}{B{N}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．