Question

9．已知二次函數(shù)的圖象過點（0，1），且有唯一的零點-1．
（Ⅰ）求f（x）的表達式．
（Ⅱ）當x∈[-2，2]且k≥6時，求函數(shù)F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且有唯一的零點-1．構(gòu)造關于a，b，c的方程組，可得f（x）的表達式；  
（Ⅱ）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)F（x）=f（x）-kxx²+（2-k）x+1的對稱軸，圖象開口向上，從而求出其最小值，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意得c=1，-$\frac{2a}$=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，對稱軸為x=$\frac{k-2}{2}$，圖象開口向上
當$\frac{k-2}{2}$≥2即k≥6時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
此時函數(shù)F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值，是二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合考查，難度中檔．