Question

20．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分別為BC、CC₁中點，BC₁⊥B₁D．
（1）求證：DE∥平面ABC₁；
（2）求證：平面AB₁D⊥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DE∥BC₁，由此能證明DE∥平面ABC₁．
（2）推民導(dǎo)出CC₁⊥AD，AD⊥BC，從而AD⊥平面BCC₁B₁，進(jìn)而AD⊥BC₁，由此能證明平面AB₁D⊥平面ABC₁．

解答 證明：（1）∵D、E分別為BC、CC₁中點，∴DE∥BC₁，…（2分）
∵DE?平面ABC₁，BC₁?平面ABC₁．
∴DE∥平面ABC₁．…（6分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，
∴CC₁⊥AD，…（8分）
∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，又∵CC_1∩BC=C，CC₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，∴AD⊥BC₁，…（11分）
又∵BC₁⊥B₁D∩AD=D，B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D，
∵BC₁?平面ABC₁，∴平面AB₁D⊥平面ABC₁．…（14分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．