Question

14．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線交雙曲線左右支分別于A，B兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率等于$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)直線的斜率為$\sqrt{3}$，直線的傾斜角為60°，利用過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線交雙曲線左右支分別于A，B兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，可得|AF₁|=2a，求出A（a-c，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得e的方程，即可得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)直線的斜率為$\sqrt{3}$，直線的傾斜角為60°，
∵過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線交雙曲線左右支分別于A，B兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，
∴|AF₁|=2a，
∴A（a-c，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得$\frac{（a-c）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
∴（e²-1）（e²-2e）=3
可得e=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．