Question

16．兩個(gè)同底的正四棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球，兩個(gè)四棱錐側(cè)面與底面形成的角分別為α與β，則tan（α+β）的取值范圍是$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 如圖可得∠SEH 和∠MEH即為兩個(gè)正四棱錐的側(cè)面和底面成的角，設(shè)球的半徑為R，不妨球心O在平面ABCD的上方，平面ABCD所在的小圓的半徑為r 則R≥r．不妨設(shè)∠SEH=α，∠MEH=β，求得tanα 和tanβ 的值．由于SH+MH=2R，再根據(jù)tan（α+β）=$\frac{\frac{SH}{EH}+\frac{MH}{EH}}{1-\frac{SH}{EH}•\frac{MH}{EH}}$=-2$\sqrt{2}$•$\frac{R}{r}$≤-2$\sqrt{2}$，從而得到tan（α+β）的范圍．

解答 解：如圖：正四棱錐S-ABCD和正四棱錐M-ABCD的六個(gè)頂點(diǎn)
在同一個(gè)球面上，設(shè)球的半徑為R，不妨球心O在平面ABCD的上方，
平面ABCD所在的小圓的半徑為r 則R≥r，$\frac{R}{r}$≥1．
則由題意可得SM=SH+MH=2R．
取ABCD的中心為H，取AD的中點(diǎn)E，則由正四棱錐的性質(zhì)，
可得∠SEH 和∠MEH即為兩個(gè)正四棱錐的側(cè)面和底面成的角，
不妨設(shè)∠SEH=α，∠MEH=β．
∵OH=$\sqrt{{OA}^{2}{-HA}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴SH=R-$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$，MH=R+$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$．
故tanα=$\frac{SH}{EH}$=$\frac{R-\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}$，tanβ=$\frac{MH}{EH}$=$\frac{R+\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}$，
tan（α+β）=$\frac{\frac{SH}{EH}+\frac{MH}{EH}}{1-\frac{SH}{EH}•\frac{MH}{EH}}$=$\frac{\frac{2R}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}}{1-\frac{{r}^{2}}{\frac{1}{2}{•r}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\frac{R}{r}}{1-2}$=-2$\sqrt{2}$•$\frac{R}{r}$≤-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)R=r，即ABCD所在的圓為大圓時(shí)，取等號．
故 tan（α+β）的范圍為：$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$，
故答案為：$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查平面和平面成的角的定義，直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和的正切公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．