Question

6．已知f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若命題：對(duì)于任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）為真命題，求a的范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出f（x）和g（x）的最值，建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：f（x）=x²-2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
當(dāng)x∈[-1，2]，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值f（1）=1-2=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大f（-1）=1+2=3，
則-1≤f（x）≤3，即f（x）的值域?yàn)閇-1，3]，
當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，g（x）=ax+2為增函數(shù)，
則g（-1）≤g（x）≤g（2），
即2-a≤g（x）≤2a+2，即g（x）的值域?yàn)閇2-a，2+2a]，
若對(duì)于任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{2a+2≥3}\\{2-a≤-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥3}\end{array}\right.$，解得a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)最值的關(guān)系建立不等式是解決本題的關(guān)鍵．