Question

10．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）若Q為SB上一動(dòng)點(diǎn)，且PQ∥面SCD，求證：Q為SB的中點(diǎn)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若△SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，求四面體S-CPQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得CD⊥AD，再由已知平面SAD⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判斷證得答案；
（Ⅱ）要證Q為SB的中點(diǎn)，可運(yùn)用T為BC的中點(diǎn)這一條件，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明QT∥SC，可證面PQT∥面SCD，取BC中點(diǎn)T，連接PT，QT后線面平行及面面平行的判斷證明；
（Ⅲ）直接由${V}_{S-CPQ}={V}_{Q-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{B-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{S-CPB}$求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
由四邊形ABCD為正方形，得CD⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD，
且平面SAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）證明：取BC中點(diǎn)T，連接PT，QT，由于P，T分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴PT∥CD，又PT?面SCD，CD?面SCD，
∴PT∥面SCD，又PQ∥面SCD，PT∩PQ=P，
∴面PQT∥面SCD，則QT∥SC，
又T為BC的中點(diǎn)，∴Q為SB的中點(diǎn)；
（Ⅲ）解：${V}_{S-CPQ}={V}_{Q-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{B-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{S-CPB}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．