Question

4．給出下列命題：其中正確命題的序號是（　�。�
①已知$\overrightarrow a$=（-1，-2），$\overrightarrow b$=（1，1），$\overrightarrow c$=（3，-2），若$\overrightarrow c$=p$\overrightarrow a$+q$\overrightarrow b$，則p=1，q=4
②不存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1
③（$\frac{π}{8}$，0）是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）的一個對稱軸中心
④已知函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在銳角△ABC中，有f（sinA）＜f（cosC）．

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①③
• D． ④

Answer 1

分析 ①根據(jù)平面向量的基本定理建立方程進(jìn)行求解即可．
②根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行求解．
③根據(jù)三角函數(shù)對稱性進(jìn)行求解．
④根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：①已知$\overrightarrow a$=（-1，-2），$\overrightarrow b$=（1，1），$\overrightarrow c$=（3，-2），若$\overrightarrow c$=p$\overrightarrow a$+q$\overrightarrow b$，
則$\left\{\begin{array}{l}{-p+q=3}\\{-2p+q=-2}\end{array}\right.$得p=5，q=8，故①錯誤，
②∵sinαcosα=$\frac{1}{2}$sinα∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，∴不存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1，故②正確，
③當(dāng)x=$\frac{π}{8}$時，y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）=sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5}{4}π$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1≠0，
∴（$\frac{π}{8}$，0）不是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）的一個對稱軸中心，故③錯誤，
④因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，
∴A+C＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}$-C，
則sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-C）=cosC，
∵函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在銳角△ABC中，有f（sinA）＜f（cosC）．故④正確，
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及平面向量的基本定理，三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度不大．