Question

16．設(shè)P是直線x+y-4=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)為A，則切線PA長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線x+y-4=0為直線MQ，過圓心O作OP垂直于直線MQ，過P作圓的切線，此時(shí)PA最短，先由圓心O及直線MQ的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出|OP|的長(zhǎng)，再由圓的半徑，利用勾股定理求出|PA|的長(zhǎng)，即為所求的最小值．

解答 解：設(shè)直線2x+4y+8=0為直線MQ，過圓心O作OP⊥直線MQ，連接OA，
由PA為圓O的切線，得到OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵x²+y²=1，∴圓心O坐標(biāo)為（0，0），半徑|OA|=1，
∴圓心O到直線x+y-4=0的距離|OP|=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理得：|AP|=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的切線性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，解題的關(guān)鍵是過圓心作已知直線的垂線，過垂足作圓的切線，得到此時(shí)的切線長(zhǎng)最短．