Question

6．橢圓的一個頂點為M（0，$\sqrt{3}$），焦點在x軸上，若右焦點到直線x-y+1=0的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設n是過原點的直線，直線l與n垂直相交于點P且與橢圓相交于A、B兩點，|$\overrightarrow{OP}$|=1，是否存在上述直線l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓方程，可得b=3，運用點到直線的距離公式，計算可得c=1，再由a，b，c的關系可得a，進而得到橢圓方程；
（2）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．假設使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直線l存在．①當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點且|$\overrightarrow{OP}$|=1．得m²=k²+1．解方程即可得到不存在，②當l垂直于x軸時，則n為x軸，P點坐標為（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．符合題意的直線l不存在．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則b=$\sqrt{3}$，設右焦點F（c，0），
則d=$\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得c=1，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
假設使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直線l存在．
①當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且|$\overrightarrow{OP}$|=1．
得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1．①
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=1，|$\overrightarrow{OP}$|=1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PA}$）•（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$）
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PB}$=1-1+0=0，
即有$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
 即x₁x₂+y₁y₂=0．
將y=kx+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵l與C有兩個交點，
k≠0，x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．②
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km （x₁+x₂）+m²=0．③
將②代入③得（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0．
化簡，得7m²=12（1+k²）．④
∵|$\overrightarrow{OP}$|=1，
∴m≠0  
由①、④得，m=0不成立．
②當l垂直于x軸時，
則n為x軸，P點坐標為（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{9}{4}$≠1，不合題意．
綜上，不存在上述直線l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的焦點和頂點，以及橢圓方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理，和平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．