Question

1．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：C₁F∥平面ABE；
（2）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明：C₁F∥平面ABE；
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

解答 （1）證明：取AC的中點(diǎn)M，連接C₁M，F(xiàn)M，
在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，
而FM?面ABE，∴FM∥平面ABE，
在矩形ACC₁A₁中，E，M都是中點(diǎn)，
∴C₁M∥AE，
而C₁M?平面ABE，∴C₁M∥平面ABE，
∵C₁M∩FM=M，
∴平面FC₁M?平面ABE
∵C₁F?平面FC₁M，
∴C₁F∥平面ABE，
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)H，連接EH，
則EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$FM，
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，
∵P是BE的中點(diǎn)，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}•{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}•EH$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)面平行的判定以及空間幾何體的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．