Question

10．某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）時(shí)，得到一下四個(gè)結(jié)論：
①f（x）的值域是（-1，1）；
②對(duì)任意x∈R，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），則對(duì)任意的n∈N^*，f_n（x）=$\frac{x}{1+n|x|}$；
④對(duì)任意的x∈[-1，1]，若函數(shù)f（x）≤t²-2at+$\frac{1}{2}$恒成立，則當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，t≤-2或t≥2，
其中正確的結(jié)論是①②③（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①分x＞0與x≤0討論，可得函數(shù)f（x）的值域是（-1，1），從而可判斷①；
②由①的分析可知，函數(shù)在每一分段上單調(diào)遞增，從而可判斷②；
③依題意，可求得f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{1+2|x|}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{1+3|x|}$…，利用歸納法可判斷③；
④利用表達(dá)式恒成立轉(zhuǎn)化函數(shù)最值恒成立，利用變量轉(zhuǎn)化法進(jìn)行i區(qū)就即可．

解答 解：∵$f（-x）=\frac{-x}{1+|x|}=-f（x）$，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{x}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$∈（0，1）
知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0）x=0時(shí)，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1），即函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）故①正確；
②若對(duì)任意x∈R，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則等價(jià)為函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$，則y=$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，y=1+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，則f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，故②正確，
③∵f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+|x|}}{1+\left|\frac{x}{1+|x|}\right|}$=$\frac{x}{1+2|x|}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{\frac{x}{1+2|x|}}{1+\left|\frac{x}{1+2|x|}\right|}$=$\frac{x}{1+3|x|}$…
∴f_n（x）=$\frac{x}{1+n|x|}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，即③正確；
④對(duì)任意的x∈[-1，1]，f（x）為增函數(shù)，∴函數(shù)的最大值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
要使函數(shù)f（x）≤t²-2at+$\frac{1}{2}$恒成立，
即t²-2at+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即t²-2at≥0，
設(shè)h（a）=-2ta+t²，
若a∈[-1，1]時(shí)，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（1）=-2t+{t}^{2}≥0}\\{h（-1）=2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≥2或t≤0}\\{t≥0或t≤-2}\end{array}\right.$，即
h（1）=-2ta+t²，t≤-2或t=0，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的解析式、單調(diào)性及值域，考查歸納法與推理運(yùn)算能力，④中，分析f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）為奇函數(shù)是關(guān)鍵，屬于難題．