Question

9．已知sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{1}{6}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin4α．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)求出cos2α=$\frac{1}{3}$，由此利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式能求出sin4α．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{1}{6}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$+α）]
=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$+α）
=$\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+2α）$
=$\frac{1}{2}cos2α$=$\frac{1}{6}$，
∴cos2α=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2α∈（π，2π），
∴sin2α=-$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin4α=2sinαcosα=-2×$\frac{1}{3}×（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．