Question

4．若14400所有正因數(shù)從小到大構(gòu)成的數(shù)列d₁，d₂，…，d_n，則S_n=$\frac{1}{1v71hvn_{1}}$+$\frac{1}{htnjdvj_{2}}$+…+$\frac{1}{pj1fvvb_{n}}$=$\frac{51181}{14400}$．

Answer 1

分析 由于14400=2⁶•3²•5²，即有正因數(shù)的個數(shù)為7×3×3=63，分別寫出所有的正因數(shù)，再由因式分解和等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：由于14400=2⁶•3²•5²，
即有正因數(shù)的個數(shù)為7×3×3=63，
則S₆₃=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
+…+$\frac{1}{64}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$）（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{7}}}{1-\frac{1}{2}}$•$\frac{403}{225}$=$\frac{51181}{14400}$．
故答案為：$\frac{51181}{14400}$．

點評 本題考查自然數(shù)的正因數(shù)的求法，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．