Question

18．定義函數(shù)F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）（a，b∈R），設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+2x+4，g（x）=x+2（x∈R），函數(shù)F（f（x），g（x））的最大值與零點之和為6．

Answer 1

分析 確定函數(shù)F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）的含義，表示出G（x）=F（f（x），g（x）），根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值．

解答 解：∵F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，
∴設(shè)G（x）=F（f（x），g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），f（x）≥g（x）}\\{f（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$．
∵當(dāng)-1≤x≤2時，f（x）≥g（x），此時G（x）=x+2∈[1，4]，此時函數(shù)無零點，此時最大值為4
當(dāng)x＞2或x＜-1時，f（x）＜g（x），G（x）=-x²+2x+4=-（x-1）²+3＜4，
綜上可得，函數(shù)G（x）的最大值為4，
由G（x）=-x²+2x+4=0，得方程的兩根之和為2，
則函數(shù)F（f（x），g（x））的最大值與零點之和為2+4=6，
故答案為：6．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的定義求出函數(shù)G（x）的解析式．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．