11.如圖,在四棱錐E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=3AB.
(Ⅰ)求證:平面ACE⊥平面CDE;
(Ⅱ)在線段DE上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BCE?若存在,求出$\frac{EF}{ED}$的值;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)證明CD⊥AE.結(jié)合AE⊥DE,推出以AE⊥平面CDE.然后證明平面ACE⊥平面CDE.
(Ⅱ)證明:設(shè)F為線段DE上一點(diǎn),且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{3}$.過點(diǎn)F作FM∥CD交CE于M,證明CD∥AB.推出FM∥AB.AF∥BM.即可證明AF∥平面BCE.

解答 (共13分)
證明:(Ⅰ)因?yàn)镃D⊥平面ADE,AE?平面ADE,
所以CD⊥AE.
又因?yàn)锳E⊥DE,CD∩DE=D,
所以AE⊥平面CDE.
又因?yàn)锳E?平面ACE,
所以平面ACE⊥平面CDE.…(7分)
(Ⅱ)在線段DE上存在一點(diǎn)F,且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{3}$,使AF∥平面BCE.
設(shè)F為線段DE上一點(diǎn),且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{3}$.
過點(diǎn)F作FM∥CD交CE于M,則$FM=\frac{1}{3}CD$.
因?yàn)镃D⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,
所以CD∥AB.
又FM∥CD,
所以FM∥AB.
因?yàn)镃D=3AB,所以FM=AB.
所以四邊形ABMF是平行四邊形.
所以AF∥BM.
又因?yàn)锳F?平面BCE,BM?平面BCE,
所以AF∥平面BCE.…(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面的位置關(guān)系,平面與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.

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