Question

2．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1（n∈N⁺）．若不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$對任意的n∈N⁺恒成立，則實數(shù)λ的最大值為-15．

Answer 1

分析 化簡a_n²=S_2n-1=（2n-1）a_n可得a_n=2n-1，從而可得λ≤（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）恒成立，從而求得．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，
∴a_n²=S_2n-1=（2n-1）a_n，
∴a_n=2n-1，
∵$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{{n+8•{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$，
∴λ≤（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）恒成立，
易知n取2，4，6時，（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）＜0，
當(dāng)n=2時，（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）=-15，
當(dāng)n=4時，（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）=-9，
當(dāng)n=6時，（1+$\frac{8（-1）^{n+1}}{n}$）（2n+1）=-$\frac{13}{3}$，
故λ≤-15，
故答案為：-15．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．