Question

已知i是虛數(shù)單位，關(guān)于x的方程為x²-x+（x+2i）i=

3+7i

1-i

．
（Ⅰ）證明方程無實(shí)數(shù)解
（Ⅱ）若x∈C，求方程的解．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)方程右側(cè)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的相等的充要條件，求解方程組無解即可證明方程無實(shí)數(shù)解．
（Ⅱ）若x∈C，設(shè)出復(fù)數(shù) x=a+bi（a，b∈R）代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的現(xiàn)有條件求解即可得到方程的解．

解答： 解：（Ⅰ）原方程可化為 x²-x-2+xi=-2+5i …2分
假設(shè)該方程有解x 且 x∈R，
則

x=5 x2-x-2=-2

，即

x=5 x2-x=0

…4分
∵x=5時(shí)，顯然x²-x≠0∴上式不成立 …5分
∴假設(shè)不成立，即原方程無實(shí)數(shù)解 …6分
（Ⅱ）∵ x∈C設(shè) x=a+bi（a，b∈R）
∴（a+bi）²-（a+bi）-2+（a+bi）i=-2+5i
即  a²-b²-a-b-2+（2ab-b+a）i=-2+5i…8分
∴

a2-b2-a-b=0(1) 2ab-b+a=5(2)

  …9分
由（1） 得  （a+b）（a-b-1）=0∴a+b=0或 a-b-1=0
a+b=0與2a-b+a=5 聯(lián)立得 2a²-2a+5=0，該方程無解  …10分
a-b-1=0與2ab-b+a=5 聯(lián)立得 a²-a-2=0
解得 a=-1，b=-2或 a=2，b=1
∴該方程的解為 -1-2i或  2+i…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的方程的解法，復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．