Question

17．如圖所示為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）的圖象是將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長度得到的，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)0＜x＜π，且h（x）=f（x）-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)零點(diǎn)的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過函數(shù)的圖象求出A，圖象過（0，1）點(diǎn)，求出φ，利用圖象求出函數(shù)的周期，得到ω，即可求出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，通過函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸，直接求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

解答 解：（Ⅰ）由圖知，A=2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2sinφ=1，解得：sinφ=$\frac{1}{2}$，可得：φ=2kπ$+\frac{π}{6}$，或φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
又函數(shù)經(jīng)過（$\frac{11π}{12}$，0），即：2sin（$\frac{11π}{12}$ω+$\frac{π}{6}$）=0，解得：$\frac{11π}{12}$ω+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得ω=$\frac{12k}{11}-\frac{2}{11}$，k∈Z，
由圖象結(jié)合“五點(diǎn)法”可知（$\frac{11π}{12}$，0）對(duì)應(yīng)函數(shù)y=sinx圖象的點(diǎn)（2π，0），即當(dāng)k=2時(shí)，可得：ω=2，
∴此函數(shù)的f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵g（x）的圖象是將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長度得到的，
∴g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅲ）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（m∈R）的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜1或1＜m＜2時(shí)，直線y=m與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
∴m的取值范圍為：-2＜m＜1或1＜m＜2；
當(dāng)-2＜m＜1時(shí)，兩根和為$\frac{4π}{3}$；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，兩根和為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ與ω是關(guān)鍵，考查識(shí)圖與運(yùn)算能力，屬于中檔題．