Question

8．非零向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，可得2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=0，①，2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=0，②，再求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的模，再由向量的夾角公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），可得
（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即為2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=0，①
（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即為2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=0，②
由①②解得，$\overrightarrow$²=8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{a}$²=$\frac{19}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\sqrt{8\overrightarrow{a}•\overrightarrow•（\frac{19}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow）}}$=$\frac{\sqrt{19}}{38}$．

點評 本題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量的平方即為模的平方，考查向量的夾角公式的運用，屬于中檔題．