Question

11．若在△ABC中，∠A=30°，b=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，則$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=（　�。�

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{21}}{3}$
• D． $13\sqrt{2}$

Answer 1

分析 又A的度數(shù)求出sinA和cosA的值，根據(jù)sinA的值，三角形的面積及b的值，利用三角形面積公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根據(jù)正弦定理及比例性質(zhì)即可得到所求式子的比值．

解答 解：由∠A=30°，得到sinA=$\frac{1}{2}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×c×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，解得c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9+$\frac{16}{3}$-12=$\frac{7}{3}$，
解得a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
則$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，特殊角的三角函數(shù)值以及比例的性質(zhì)，正弦定理、余弦定理建立了三角形的邊與角之間的關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．