7.已知a為實(shí)數(shù),對(duì)一切x∈R,二次函數(shù)y=x2-4ax+2a+30的值均為非負(fù)數(shù),則關(guān)于x的方程$\frac{x}{a+3}$=|a-1|+1的根的范圍是[$-\frac{9}{4}$,12].

分析 由已知可得△=16a2-4(2a+30)≤0,解得:a∈[$-\frac{5}{2}$,3],結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類討論可得x=(a+3)(|a-1|+1)的值域,進(jìn)而得到答案.

解答 解:∵二次函數(shù)y=x2-4ax+2a+30的值均為非負(fù)數(shù),
∴△=16a2-4(2a+30)≤0,
解得:a∈[$-\frac{5}{2}$,3],
則關(guān)于x的方程$\frac{x}{a+3}$=|a-1|+1可化為:x=(a+3)(|a-1|+1),
當(dāng)a∈[$-\frac{5}{2}$,1]時(shí),x=(a+3)(2-a)=-a2-a+6,當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí),a取最大值$\frac{25}{4}$,當(dāng)a=$-\frac{5}{2}$時(shí),函數(shù)取最小值$-\frac{9}{4}$,
當(dāng)a∈(1,3]時(shí),x=(a+3)a=a2+3a,當(dāng)a=3時(shí),a取最大值12,當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)取最小值4,
綜上,x∈[$-\frac{9}{4}$,12],
故答案為:[$-\frac{9}{4}$,12]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.如圖所示,要測(cè)量河對(duì)岸一電視塔的高PC,在河旁取A、B兩點(diǎn),測(cè)得AB=100$\sqrt{3}$米,∠CAB=∠ABC=60°,PB與地面所成的角為30°.
(1)求電視塔的高PC;
(2)求異面直線PB與AC所成角的余弦值.

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18.式子($\sqrt{10}$)${\;}^{2-2lg\frac{4}{5}}$+2${\;}^{lo{g}_{4}(1-\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{23}{2}$.

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15.如圖是某圓拱橋的示意圖,這個(gè)圓拱橋的水面跨度AB=24m,拱高OP=8m.問:為使寬為10m的船能從橋下順利通過,應(yīng)如何限制船體及裝載的貨物在水面以上的高度?

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2.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在[a,b]⊆I,使函數(shù)f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇ka,kb],k是正常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x),x∈I為閉函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí),判斷函數(shù)f(x)=$\sqrt{x}$是否是閉函數(shù)?若是,則求出區(qū)間[a,b];
(Ⅱ)當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí).若函數(shù)f(x)=$\sqrt{x}$+t是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)k=1時(shí),是否存在實(shí)數(shù)m,當(dāng)a+b≤2時(shí),使函數(shù)f(x)=x2-2x+m是閉函數(shù)?若存在,求出實(shí)數(shù)m的范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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12.若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+4)=f(x),且當(dāng)x∈[0,4]時(shí),f(x)=1-$\frac{1}{2}$|x-2|,那么函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x|,x<0}\\{|lgx|,x>0}\end{array}\right.$的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有( 。
A.12B.11C.10D.9

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19.當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí),函數(shù)f(x)=sin(x+φ)取得最小值,則函數(shù)y=f($\frac{3π}{4}$-x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( 。
A.(0,$\frac{π}{2}$)B.($\frac{π}{2}$,π)C.(-$\frac{π}{2}$,-$\frac{π}{4}$)D.($\frac{3π}{2}$,2π)

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16.已知集合M={$\frac{1}{2}$,1,2,3,4},N={y|y=log2x,x∈M},則M∩N是( 。
A.{1,2}B.{1,4}C.{1}D.{2}

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2.已知橢圓C中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一條經(jīng)過點(diǎn)$(3,-\sqrt{5})$且傾斜角余弦值為$-\frac{2}{3}$的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),交x軸于M點(diǎn),又$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$.
(1)求直線l的方程;
(2)求橢圓C長(zhǎng)軸的取值范圍.

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