Question

7．已知a為實(shí)數(shù)，對(duì)一切x∈R，二次函數(shù)y=x²-4ax+2a+30的值均為非負(fù)數(shù)，則關(guān)于x的方程$\frac{x}{a+3}$=|a-1|+1的根的范圍是[$-\frac{9}{4}$，12]．

Answer 1

分析 由已知可得△=16a²-4（2a+30）≤0，解得：a∈[$-\frac{5}{2}$，3]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論可得x=（a+3）（|a-1|+1）的值域，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵二次函數(shù)y=x²-4ax+2a+30的值均為非負(fù)數(shù)，
∴△=16a²-4（2a+30）≤0，
解得：a∈[$-\frac{5}{2}$，3]，
則關(guān)于x的方程$\frac{x}{a+3}$=|a-1|+1可化為：x=（a+3）（|a-1|+1），
當(dāng)a∈[$-\frac{5}{2}$，1]時(shí)，x=（a+3）（2-a）=-a²-a+6，當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，a取最大值$\frac{25}{4}$，當(dāng)a=$-\frac{5}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{9}{4}$，
當(dāng)a∈（1，3]時(shí)，x=（a+3）a=a²+3a，當(dāng)a=3時(shí)，a取最大值12，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)取最小值4，
綜上，x∈[$-\frac{9}{4}$，12]，
故答案為：[$-\frac{9}{4}$，12]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．