Question

17．如圖所示，要測量河對(duì)岸一電視塔的高PC，在河旁取A、B兩點(diǎn)，測得AB=100$\sqrt{3}$米，∠CAB=∠ABC=60°，PB與地面所成的角為30°．
（1）求電視塔的高PC；
（2）求異面直線PB與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得BC=AB=100$\sqrt{3}$，由此利用勾股定理能求出PC的長．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為y軸，以CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PB與AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵AB=100$\sqrt{3}$米，∠CAB=∠ABC=60°，PB與地面所成的角為30°，PC⊥平面ABC，
∴BC=AB=100$\sqrt{3}$，
設(shè)PC=x，則PB=2x，4x²-x²=（100$\sqrt{3}$）²，
解得x=100，即PC=100（米）．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為y軸，以CP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），A（100$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，100），B（50$\sqrt{3}$，150，0），
$\overrightarrow{CA}$=（100$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（50$\sqrt{3}$，150，-100），
設(shè)異面直線PB與AC所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|15000|}{100\sqrt{3}×\sqrt{40000}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴異面直線PB與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．