Question

5．已知△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其面積S=4$\sqrt{3}$，∠B=60°，且a²+c²=2b²；等差數(shù)列{a_n}中，且a₁=a，公差d=b．數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n的通項公式；
（2）設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項和P_2n+1．

Answer 1

分析 （1）運用三角形的面積公式和余弦定理，解得a=b=c=4，由等差數(shù)列的通項公式可得a_n=4n；再由數(shù)列的通項與求和的關系，可得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求得b_n；
（2）求得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n為奇數(shù)}\\{3•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，運用數(shù)列的求和方法：分組求和，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∴ac=16，
又 a²+c²=2b²，b²=a²+c²-2accosB，
∴b²=ac=16，∴b=4，
從而（a+c）²=a²+c²+2ac=64⇒a+c=8∴a=c=4
故可得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=4}\\{d=4}\end{array}}\right.$，∴a_n=4+4（n-1）=4n；
∵T_n-2b_n+3=0，∴當n=1時，b₁=3，
當n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，
兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴${b_n}=3•{2^{n-1}}$．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n為奇數(shù)}\\{3•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
前2n+1項和P_2n+1=[4+12+…+4（2n+1）]+（6+24+…+3•2^2n-1）
=$\frac{[4+4（2n+1）]（n+1）}{2}+\frac{6（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=2²ⁿ⁺¹+4n²+8n+2．

點評 本題考查三角形的余弦定理和面積公式的運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．