Question

5．已知橢圓的兩個焦點坐標分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），并且經(jīng)過點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如果直線y=x+m與這個橢圓交于兩個不同的點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由題分析出橢圓的焦點在x軸上且2a=|MF₁|+|MF₂|，c=1，求出a，b即可求橢圓的標準方程；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理為關于的一元二次方程；再結合直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點知道對應的方程有兩個不等實根，判別式大于0即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）由題得橢圓的焦點在x軸上，
且2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$；
又c=1，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，整理得：3x²+4mx+2m²-2=0．
由直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點得
△=（4m）²-4×3×（2m²-2）＞0
⇒m²＜3⇒-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$．
所以m的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題涉及到橢圓標準方程的求法．在求圓錐曲線的標準方程時，一定要先判斷焦點所在位置，避免出錯，同時考查直線和橢圓的位置關系，注意運用判別式大于0，考查運算能力，屬于中檔題．