Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），連接橢圓的四個頂點得到菱形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過原點，交橢圓于A、B兩點，弦長為3，求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)菱形的面積為S，可得S=$\frac{1}{2}$•2a•2=4，解得a=2，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程，求得交點，由兩點的距離公式，解得斜率，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)菱形的面積為S，
由題意可得S=$\frac{1}{2}$•2a•2=4，
解得a=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)為k，
即直線方程為y=kx，
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²=4，
解得x=±$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
可設(shè)A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
由題意可得|AB|=$\sqrt{\frac{16}{1+4{k}^{2}}+\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=3，
解得k=±$\frac{\sqrt{35}}{10}$，
即有直線AB的方程為y═±$\frac{\sqrt{35}}{10}$x．

點評 本題考查橢圓的方程的求法和運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．