Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線l：x+$\sqrt{3}$y=0垂直，且C的一個焦點到l的距離為2，則C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1；該雙曲線一個焦點到漸近線的距離為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 運用兩直線垂直的條件可得漸近線方程，再由點到直線的距離公式，可得c=4，再由a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而可得雙曲線的方程，利用點到直線的距離公式求出雙曲線一個焦點到漸近線的距離．

解答 解：由于雙曲線的一條漸近線與直線l：x+$\sqrt{3}$y=0垂直，
則這條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x．
另一條即為y=-$\sqrt{3}$x，
設(shè)雙曲線的一個焦點為（c，0），
則$\frac{|c|}{\sqrt{1+3}}$=2，即c=4，
由雙曲線的漸近線方程可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
a²+b²=c²，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$．
則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
焦點（4，0）到y(tǒng)=$\sqrt{3}$x的距離為$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1；2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查兩直線垂直的條件，考查點到直線的距離公式，考查漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．