Question

20．已知兩點(diǎn)A（4，0），B（0，5），點(diǎn)C圓x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是（　�。�

• A． 10-$\frac{3\sqrt{41}}{2}$
• B． 10+$\frac{3\sqrt{41}}{2}$
• C． 10-$\frac{\sqrt{41}}{2}$
• D． 10+$\frac{\sqrt{41}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得AB=$\sqrt{41}$，要求△ABC的面積的最小值，只要求C到直線AB距離d的最小值，由于O到直線AB：5x+4y-20=0的距離為$\frac{20}{\sqrt{41}}$，可得d_min=$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3，從而可求面積的最小值．

解答 解：由題意可得AB=$\sqrt{16+25}$=$\sqrt{41}$，
要求△ABC的面積的最小值，只要求C到直線AB距離d的最小值，
由于O到直線AB：5x+4y-20=0的距離為$\frac{20}{\sqrt{41}}$，
∴d_min=$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3，
∴△ABC的面積的最小值為$\frac{1}{2}×\sqrt{41}×$（$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3）=10-$\frac{3\sqrt{41}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用圓的性質(zhì)求解三角形的面積的最小值，求出C到直線AB距離d的最小值是關(guān)鍵．