Question

4．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=$\frac{π}{2}$．
（1）求該圓錐的全面積；
（2）求異面直線AO與CD所成角的大�。�
（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 （1）求出圓錐底面半徑，圓錐的側(cè)面積S_側(cè)，然后求解圓錐的全面積．
（2）過(guò)D作DM∥AO交BO于M，連CM，說(shuō)明∠CDM為異面直線AO與CD所成角，在Rt△CDM中，求解異面直線AO與CD所成角的大�。�

解答 解：（1）Rt△AOB中，OB=2
即圓錐底面半徑為2
圓錐的側(cè)面積S_側(cè)=πrl=8π….4’
故圓錐的全面積S_全=S_側(cè)+S_底=8π+4π=12π….6’
（2）過(guò)D作DM∥AO交BO于M，連CM
則∠CDM為異面直線AO與CD所成角….8’
∵AO⊥平面OBC∴DM⊥平面OBC∴DM⊥MC
在Rt△AOB中，$AO=2\sqrt{3}$∴$DM=\sqrt{3}$，
∵D是AB的中點(diǎn)∴M是OB的中點(diǎn)，
∴OM=1∴$CM=\sqrt{5}$．
在Rt△CDM中，$tan∠CDM=\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，….10’
∴$∠CDM=arctan\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
即異面直線AO與CD所成角的大小為$arctan\frac{{\sqrt{15}}}{3}$….12’

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，幾何體的全面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．